Juros compostos: como os juros rendem juros

Nos juros simples, a base de cálculo nunca muda. Nos juros compostos, o valor dos juros de cada período é incorporado ao saldo e passa a render no período seguinte. É o chamado juro sobre juro — e é o regime usado na maior parte do crédito, dos investimentos e dos financiamentos no Brasil.

A lógica da capitalização #

Imagine R$ 1.000 a 10% ao mês.

• No primeiro mês, os juros são R$ 100 e o saldo vai para R$ 1.100.
• No segundo mês, os 10% incidem sobre R$ 1.100, gerando R$ 110.
• No terceiro mês, a base é R$ 1.210, e os juros sobem para R$ 121.

A cada período, a base cresce. Por isso o montante não aumenta em linha reta: aumenta seguindo uma curva exponencial.

A fórmula #

Para um capital $C$, taxa $i$ por período e prazo $t$:

Os juros são a diferença entre montante e capital:

O fator $(1 + i)^t$ é o coração da conta. Ele responde à pergunta: em quanto cada real se transforma depois de $t$ períodos?

Exemplo resolvido #

Quanto rendem R$ 10.000 aplicados a 1% ao mês por 12 meses?

Compare com o regime simples, em que os juros seriam R$ 1.200,00. A diferença de R$ 68,25 é o efeito dos juros sobre juros em apenas um ano.

No começo a diferença é pequena. Com prazos longos, ela se torna dominante.

A regra dos 72 #

Existe um atalho útil para estimar em quanto tempo um capital dobra:

A 1% ao mês, o capital dobra em cerca de 72 meses, ou 6 anos. A 6% ao ano, em cerca de 12 anos. O resultado é uma aproximação, mas ajuda a comparar cenários de cabeça.

Onde os juros compostos aparecem #

• Investimentos: renda fixa, poupança, fundos e títulos públicos usam capitalização.
• Financiamentos: imóveis, veículos e empréstimos pessoais cobram juros sobre o saldo devedor.
• Cartão de crédito: o rotativo é um dos exemplos mais caros de capitalização composta.
• Inflação: preços que sobem percentualmente também se acumulam de forma composta.

Erros frequentes #

1. Somar taxas: 1% ao mês não é 12% ao ano no regime composto. O correto é $(1{,}01)^{12} - 1 = 12{,}6825\%$ ao ano.
2. Usar prazo em unidade diferente da taxa: 24 meses com taxa mensal é $t = 24$; com taxa anual, $t = 2$.
3. Confundir taxa com fator: multiplicar por 1,01 é aplicar 1%; somar 1,01 ao capital é outra coisa.
4. Ignorar custos: IOF, tarifas e seguros não entram na fórmula, mas afetam o resultado real.

Resumo #

1. Juros compostos incidem sobre o saldo atualizado.
2. $M = C(1+i)^t$ e $J = M - C$.
3. O crescimento é exponencial, não linear.
4. A regra dos 72 estima o tempo de dobra.
5. Taxa e prazo devem estar na mesma unidade.

Para testar valores diferentes, use a calculadora de juros e alterne entre os regimes simples e composto.